Giải bài tập 3.29 trang 71 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\frac{{x\sqrt y  + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x  - \sqrt y }} = x - y\) với x, y dương và \(x \ne y\)

b) \(\frac{a}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\sqrt {25{a^4}{{\left( {a - b} \right)}^4}}  = 5{a^3}\) với \(a \ne b\)

c) \(\frac{1}{{\sqrt z  - 2}} - \frac{1}{{\sqrt z  + 2}} = \frac{4}{{z - 4}}\) với \(z \ge 0\) và \(z \ne 4\)

Lời giải chi tiết

a) \(\frac{{x\sqrt y  + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x  - \sqrt y }}\)\( = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}:\frac{{\sqrt x  + \sqrt y }}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}}\)\( = \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right).\frac{{x - y}}{{\sqrt x  + \sqrt y }}\)\( = x - y\) (đpcm)

b) \(\frac{a}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\sqrt {25{a^4}{{\left( {a - b} \right)}^4}} \)\( = \frac{a}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\sqrt {{{\left[ {5{a^2}{{\left( {a - b} \right)}^2}} \right]}^2}} \)\( = \frac{{a.5{a^2}{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)\( = 5{a^3}\)  (đpcm)

c) \(\frac{1}{{\sqrt z  - 2}} - \frac{1}{{\sqrt z  + 2}}\)\( = \frac{{\sqrt z  + 2 - \sqrt z  + 2}}{{\left( {\sqrt z  + 2} \right)\left( {\sqrt z  - 2} \right)}}\)\( = \frac{4}{{z - 4}}\) (đpcm)