Giải bài tập 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right),B\left( {1; - 1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 2;3} \right)\).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \).
c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - 4; - 1 - 2;2 + 1} \right) = \left( { - 3; - 3;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}}  = 3\sqrt 3 \)

b) Gọi M (x; y; z) thì \(\overrightarrow {MC}  = \left( { - x; - 2 - y,3 - z} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {MC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x =  - 3\\ - 2 - y =  - 3\\3 - z = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\). Do đó, M(3; 1; 0).

c) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ điểm N là N(x; y; 0)

Ta có: \(\overrightarrow {AN} \left( {x - 4;y - 2;1} \right);\overrightarrow {BN} \left( {x - 1;y + 1; - 2} \right)\)

Để A, B, N thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {BN} \) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {AN}  = k\overrightarrow {BN} \) (với k là số thực bất kì)

Suy ra, \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = k\left( {x - 1} \right)\\y - 2 = k\left( {y + 1} \right)\\1 =  - 2k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 =  - \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\\y - 2 =  - \frac{1}{2}\left( {y + 1} \right)\\k = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy N(3; 1)