Giải bài tập 1.26 trang 40 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là \(y = {t^3} - 12t + 3,t \ge 0\).
a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 3\).
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Lời giải chi tiết

a) Hàm vận tốc là: \(v\left( t \right) = y' = 3{t^2} - 12\), \(t \ge 0\)

Hàm gia tốc là: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = y'' = 6t\), \(t \ge 0\)

b) Hạt chuyển động lên trên khi \(v\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow t > 2\) (do \(t \ge 0\))

Hạt chuyển động xuống dưới khi \(v\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 12 < 0 \Leftrightarrow 0 \le t < 2\) (do \(t \ge 0\))

c) Ta có: \(y\left( 3 \right) - y\left( 0 \right) = {3^3} - 12.3 + 3 - 3 =  - 9\)

Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian \(0 \le t \le 3\) là 9m.

d) Hạt tăng tốc khi \(v\left( t \right)\) tăng hay \(v'\left( t \right) > 0.\) Do đó, \(6t > 0 \Leftrightarrow t > 0\)

Hạt giảm tốc khi \(v\left( t \right)\) giảm hay \(v'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 6t < 0 \Leftrightarrow t < 0\) (không thỏa mãn do \(t \ge 0\))