Giải bài tập 11 trang 91 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 0\). Cosin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là

A. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

C. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{5}\).

D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{5}\).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;0;2} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1; - 2} \right)\). Ta có: \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).2 + 0.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

Do đó, \(\cos \left( {d,\left( P \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Chọn B