Bài 8 trang 153 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Quãng đường \(AB\) gồm một đoạn lên dốc dài \(4\; km\) và một đoạn xuống dốc dài \(5\,km.\) Một người đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) hết \(40\) phút và đi từ \(B\) về \(A\) hết \(41\) phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc. 

Lời giải chi tiết

Gọi vận tốc lúc lên dốc là \(x\left( {km/h} \right)\), vận tốc lúc xuống dốc là \(y\left( {km/h} \right)\)  \(\left( {x;y > 0} \right)\)

\(40\) phút \(=\dfrac{{40}}{{60}}\,h = \dfrac{2}{3}h\),  \(41\) phút\( = \dfrac{{41}}{{60}}h\)

Thời gian lên dốc và xuống dốc khi đi từ \(A\) đến \(B\) theo thứ tự  là \(\dfrac{4}{x}\) và \(\dfrac{5}{y}\)

Theo đề bài, ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{y} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{5}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình trên

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right)\\
\dfrac{5}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right) + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right)\\
\dfrac{5}{6} - \dfrac{{25}}{{4y}} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{{41}}{{60}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{y}} \right)\\
\dfrac{{ - 9}}{{4y}} = \dfrac{{ - 3}}{{20}}
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4}.\left( {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{{15}}} \right)\\
y = 15
\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 12\\
y = 15
\end{array} \right.\text{(thỏa mãn)}
\end{array}\)

Vậy vận tốc lúc lên dốc là \(12km/h\), vận tốc lúc xuống dốc là \(15km/h.\)

Đáp số: \(12km/h\), \(15km/h.\)

Chú ý:

Thời gian lên dốc và xuống dốc khi đi từ \(B\) đến \(A\) theo thứ tự  là \(\dfrac{5}{x}\) và \(\dfrac{4}{y}\)

Ta có thể giải hệ phương trình trên bằng phương pháp đặt ẩn phụ như sau:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = u\\\dfrac{1}{y} = v\end{array} \right.\,\left( {u;v \ne 0} \right)\)  ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}4u + 5v = \dfrac{2}{3}\\5u + 4v = \dfrac{{41}}{{60}}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12u + 15v = 2\\300u + 240v = 41\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}192u + 240v = 32\\300u + 240v = 41\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}108u = 9\\12u + 15v = 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\12.\dfrac{1}{{12}} + 15v = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

Thay lại cách đặt ta được \(\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{12}}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{15}}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\\y = 15\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)