Bài 6 trang 152 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình:

LG a

\(\left\{ \begin{array}{l}
2\sqrt {x - 1} - \sqrt {y - 1} = 1\\
\sqrt {x - 1} + \sqrt {y - 1} = 2
\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1} \,\\v = \sqrt {y - 1} \end{array} \right.\,\left( {u,v \ge 0} \right)\) để tìm \(u,v\) từ đó thay lại cách đặt để tìm \(x;y.\)

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ge 1;y \ge 1\) 

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sqrt {x - 1} \,\\v = \sqrt {y - 1} \end{array} \right.\,\left( {u,v \ge 0} \right)\) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2u - v = 1\\u + v = 2\end{array} \right.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 1\\v = 1\end{array} \right.\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  = 1\\\sqrt {y - 1}  = 1\end{array} \right.  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right)\)

LG b

\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 1} \right)^2} - 2y = 2\\
3{\left( {x - 1} \right)^2} + 3y = 1
\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Đặt \(u = {\left( {x - 1} \right)^2}\,\left( {u \ge 0} \right)\) 

Giải chi tiết:

Đặt \(u = {\left( {x - 1} \right)^2}\,\left( {u \ge 0} \right)\) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}u - 2y = 2\\3u + 3y = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3u - 6y = 6\\3u + 3y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 9y = 5\\3u + 3y = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - \dfrac{5}{9}\\3u + 3.\left( { - \dfrac{5}{9}} \right) = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u =  \dfrac{8}{9} (tm)\\y = -\dfrac{5}{9}\end{array} \right.\) 

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \pm \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\
y = - \dfrac{5}{9}
\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm \(\left( {1 + \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}; - \dfrac{5}{9}} \right);\left( {1 - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}; - \dfrac{5}{9}} \right)\).

Chú ý: 

Với \(u = \dfrac{8}{9} \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \dfrac{8}{9} \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\x - 1 =  - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\\x = 1 - \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array} \right.\)