Bài 72 trang 153 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình chóp cụt tứ giác đều \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có các cạnh đáy \(5cm\) và \(10cm\), đường cao của mặt bên bằng \(5cm.\) Hãy tính:

a) Diện tích xung quanh của hình chóp cụt.

b) Tính cạnh bên và chiều cao của hình chóp cụt.

Lời giải chi tiết

a) Diện tích một mặt bên là hình thang có đáy nhỏ 5cm, đáy lớn 10cm và chiều cao hình thang là 5cm bằng:

\(\displaystyle S = {1 \over 2}\left( {5 + 10} \right).5 = 37,5\;(c{m^2})\)

Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:

\({S_{xq}} = 4.S=4.37,5 = 150\;(c{m^2})\)

b) Lấy I, J lần lượt là trung điểm của \(A_1B_1,AB\) thì \(IJ=5cm\) là đường cao của mặt bên \(A_1B_1BA\)

Kẻ \(A_1H ⊥ AB\) tại \(H\), ta có:

\(A_1I = A_1B_1:2=2,5cm, \)\(AJ =AB:2= 5cm\)

\( \Rightarrow  AH =(AB-A_1B_1):2\)\(=(10-5):2=2,5\,(cm)\) (vì \(A_1B_1BA\) là hình thang cân)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(A_1HA\), ta có:

\({A_1}{A^2} = {A_1}{H^2} + A{H^2} \)\(\,= {5^2} + 2,{5^2} = 31,25\)

\( \Rightarrow {A_1}A = \sqrt {31,25}  \approx 5,59\;(cm)\)

Vì \(O_1I\) là đường trung bình của tam giác \(A_1B_1D_1\) nên \(O_1I=A_1D_1:2=5:2=2,5cm\)

Vì \(OJ\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\) nên \(OJ = AD:2=10:2=5cm.\)

Kẻ \(II_1⊥ OJ\), suy ra tứ giác \(O_1II_1O\) là hình chữ nhật nên \(OI_1=O_1I=2,5cm\)

Do đó \(I_1J =OJ-OI_1=5-2,5= 2,5\,cm\).

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(II_1J\), ta có:

\(I{J^2} = I{I_1}^2 + {{\rm I}_1}{J^2}\)

\( \Rightarrow I{I_1}^2 = I{J^2} - {I_1}{J^2} \)\(\,= {5^2} - 2,{5^2} = 18,75\)

\( \Rightarrow I{I_1} = \sqrt {18,75}  \approx 4,33\;(cm)\)

Vậy \(OO_1 = I{I_1}  \approx  4,33\; (cm)\).