Bài 69 trang 152 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tính diện tích toàn phần của hình chóp đều sau đây:

a) Hình cho theo các kích thước trên hình 152.

b) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy \(6cm,\) chiều cao hình chóp \(5cm.\)

c) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy \(20cm,\) chiều cao hình chóp \(7cm.\)

d) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy \(1m,\) chiều cao hình chóp \(50cm.\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(AO\) là đường cao hình chóp nên \(∆ AOM \) vuông tại \(O.\)

Ta có: \(\displaystyle OM = {1 \over 2}CD={1 \over 2}.6 = 3\;(cm)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AOM\), ta có:

\( A{M^2} = A{O^2} + O{M^2}  = {8^2} + {3^2} = 73\)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {73} \;(cm)=d\)

Nửa chu vi đáy \(p=\dfrac{1}{2}.6.4=12\,(cm)\)

Ta có: \({S_{xq}} = pd   = 12\sqrt {73} \;(c{m^2})\).

Diện tích đáy \(BCDE\) là  \(S_đ= 6.6 =36 \;(cm^2)\).

Diện tích toàn phần của hình chóp là:

\({S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_đ}\)\(\,= 12\sqrt {73}  + 36 \approx 138,5\;(c{m^2})\)

b) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng \(6cm\), chiều cao hình chóp bằng \(5cm.\)

Tương tự hình vẽ câu a ta có \(MA ⊥ BC.\)

Ta có \(\displaystyle OM = {1 \over 2}CD={1 \over 2}.6 = 3\;(cm)\)

Vì \(AO\) là đường cao của hình chóp nên \(∆ AOM\) vuông tại \(O.\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AOM,\) ta có:

\( A{M^2} = O{A^2} + O{M^2}  \)\(\,= 5^2 + 3^2 = 34  \)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {34}\;(cm)=d \)

Nửa chu vi đáy \(p=\dfrac{1}{2}.6.4=12\,(cm)\)

Diện tích xung quanh hình chóp là:

\(S_{xq}=p.d = 12\sqrt {34} (c{m^2})\)

Diện tích đáy \(BCDE\) là  \(S_đ= 6.6 =36 \;(cm^2)\).

Diện tích toàn phần của hình chóp là:

\({S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_đ}\)\(\,=12\sqrt {34}  + 36 \approx 106\,(c{m^2})\)

c) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng \(20cm,\) chiều cao hình chóp bằng \(7cm.\)

Tương tự hình vẽ câu a ta có: \(MA ⊥ BC,CD=20cm,OA=7cm.\)

Ta có \(\displaystyle OM = {1 \over 2}CD={1 \over 2}.20 = 10\;(cm)\)

Vì \(AO \) là đường cao của hình chóp nên \(∆ AOM\) vuông tại \(O.\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AOM,\) ta có:

\( A{M^2} = O{A^2} + O{M^2}  \)\(\,= 7^2 + 10^2 = 149  \)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {149}\;(cm)=d \)

Nửa chu vi đáy \(p=\dfrac{1}{2}.20.4=40\,(cm)\) 

Diện tích xung quanh hình chóp là:

\(S_{xq}=p.d = 40\sqrt {149} (c{m^2})\)

Diện tích đáy \(BCDE\) là  \(S_đ= 20.20 =400 \;(cm^2)\).

Diện tích toàn phần của hình chóp là:

\({S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_đ}\)\(\,=40\sqrt {149}  + 400 \approx 888,3\,(c{m^2})\)

d) Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng \(1m\), chiều cao hình chóp bằng \(50cm.\)

Tương tự hình vẽ câu a ta có \(MA ⊥ BC,CD=1m,OA=50cm=0,5m.\)

Ta có \(\displaystyle OM = {1 \over 2}CD={1 \over 2}.1 = 0,5\;(m)\)

Vì \(AO\) là đường cao của hình chóp nên \(∆ AOM\) vuông tại \(O.\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(AOM,\) ta có:

\( A{M^2} = O{A^2} + O{M^2}  \)\(\,= 0,5^2 + 0,5^2 = 0,5  \)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {0,5}\;(m)=d \)

Nửa chu vi đáy \(p=\dfrac{1}{2}.1.4=2\,(m)\)

Diện tích xung quanh hình chóp là:

\(S_{xq}=p.d=2.\sqrt {0,5}  ({m^2})\)

Diện tích đáy \(BCDE\) là  \(S_đ= 1.1 =1 \;(m^2)\).

Diện tích toàn phần của hình chóp là:

\({S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_đ}\)\(\,=2\sqrt {0,5}  + 1 \approx 2,4\,({m^2})\)