Bài 6.31 trang 190 SBT đại số 10

Đề bài

Cho \(\sin \alpha  = \dfrac{8}{{17}},\sin \beta  = \dfrac{{15}}{{17}}\)với \(0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{3},0 < \beta  < \dfrac{\pi }{2}\). Chứng minh rằng \(\alpha  + \beta  = \dfrac{\pi }{2}\)

Lời giải chi tiết

Từ giải thiết suy ra \(\cos \alpha >0, \cos \beta >0\). Ta có:

\(\cos \alpha  = \sqrt {1 - \dfrac{{64}}{{289}}}  = \sqrt {\dfrac{{225}}{{289}}}  = \dfrac{{15}}{{17}};\) \(\cos \beta  = \sqrt {1 - \dfrac{{225}}{{289}}}  = \sqrt {\dfrac{{64}}{{289}}}  = \dfrac{8}{{17}}\).

Do đó

\(\sin (\alpha  + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta \)

=\(\dfrac{8}{{17}}.\dfrac{8}{{17}} + \dfrac{{15}}{{17}}.\dfrac{{15}}{{17}} = \dfrac{{289}}{{289}} = 1\).

Vì \(0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2},0 < \beta  < \dfrac{\pi }{2}\)nên từ đó suy ra \(\alpha  + \beta  = \dfrac{\pi }{2}\).