Bài 6.21 trang 186 SBT đại số 10

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \) làm cho biểu thức \({{\sin \alpha  + \tan \alpha } \over {{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + cot}}\alpha }}\) có nghĩa, biểu thức đó không thể là một số âm.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + \cot \alpha }}
= \dfrac{{\sin \alpha + \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\cos \alpha + \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}\\
= \dfrac{{\sin \alpha \left( {1 + \dfrac{1}{{\cos \alpha }}} \right)}}{{\cos \alpha \left( {1 + \dfrac{1}{{\sin \alpha }}} \right)}}\\
= \tan \alpha .\dfrac{{1 + \dfrac{1}{{\cos \alpha }}}}{{1 + \dfrac{1}{{\sin \alpha }}}}\\
= \tan \alpha .\dfrac{{\dfrac{{\cos \alpha + 1}}{{\cos \alpha }}}}{{\dfrac{{\sin \alpha + 1}}{{\sin \alpha }}}}\\
= \tan \alpha .\left( {\dfrac{{\cos \alpha + 1}}{{\cos \alpha }}.\dfrac{{\sin \alpha }}{{\sin \alpha + 1}}} \right)\\
= {\tan ^2}\alpha .\dfrac{{\cos \alpha + 1}}{{\sin \alpha + 1}}
\end{array}\)

Vì \(1 + c{\rm{os}}\alpha  \ge {\rm{0}}\) và \(1 + \sin \alpha  > {\rm{0}}\) cho nên biểu thức đã cho không thể có giá trị là một số âm.