Giải bài 6 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \left( {1 + 3n - {n^2}} \right)\);

b) \(\lim \frac{{{n^3} + 3n}}{{2n - 1}}\);

c) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n}  + n} \right)\);

d) \(\lim \left( {{3^{n + 1}} - {5^n}} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) \(\lim \left( {1 + 3n - {n^2}} \right) = \lim \left[ {{n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{n} - 1} \right)} \right]\)

Ta có: \(\lim {n^2} =  + \infty ,\lim \left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{n} - 1} \right) =  - 1 < 0\).

Do đó, \(\lim \left( {1 + 3n - {n^2}} \right) = \lim {n^2}\left( {\frac{1}{{{n^2}}} + \frac{3}{n} - 1} \right) =  - \infty \)

b) \(\lim \frac{{{n^3} + 3n}}{{2n - 1}} = \lim \left[ {{n^2}.\frac{{1 + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{2 - \frac{1}{n}}}} \right]\)

Ta có: \(\lim {n^2} =  + \infty ,\lim \left( {\frac{{1 + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{2 - \frac{1}{n}}}} \right) = \frac{1}{2} > 0\)

Do đó, \(\lim \frac{{{n^3} + 3n}}{{2n - 1}} = \lim {n^2}\frac{{1 + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{2 - \frac{1}{n}}} =  + \infty \)

c) \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n}  + n} \right) = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n}}  + 1} \right)} \right]\)

Ta có: \(\lim n =  + \infty ,\lim \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n}}  + 1} \right) = 2 > 0\)

Do đó, \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n}  + n} \right) = \lim \left[ {n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n}}  + 1} \right)} \right] =  + \infty \)

d) \(\lim \left( {{3^{n + 1}} - {5^n}} \right) = \lim \left\{ {{5^n}\left[ {3.{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right]} \right\}\)

Ta có: \(\lim {5^n} =  + \infty ,\lim \left[ {3.{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right] = 3.0 - 1 =  - 1 < 0\)

Do đó, \(\lim \left( {{3^{n + 1}} - {5^n}} \right) = \lim \left\{ {{5^n}\left[ {3.{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - 1} \right]} \right\} =  - \infty \)