Bài 56 trang 16 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng làm thì trong \(12\) ngày xong việc. Nhưng hai đội chỉ cùng làm trong \(8\) ngày. Sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong \(7\) ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc.

Lời giải chi tiết

Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (ngày), thời gian đội thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\) (ngày)

Điều kiện: \(x > 12; y > 12\)

Trong \(1\) ngày đội thứ nhất làm được \(\displaystyle {1 \over x}\) (công việc)

Trong \(1\) ngày đội thứ hai làm được \(\displaystyle{1 \over y}\) (công việc)

Hai đội cùng làm thì trong \(12\) ngày xong việc, khi đó trong \(1\) ngày cả hai đội làm được \(\displaystyle{1 \over 12}\) (công việc)

Ta có phương trình: \(\displaystyle{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}\)

Hai đội cùng làm trong \(8\) ngày, sau đó đội thứ nhất làm tiếp một mình trong \(7\) ngày nữa thì xong công việc, ta có phương trình:

\(\displaystyle 8.{1 \over {12}} + {7 \over x} = 1 \Leftrightarrow \displaystyle{2 \over 3} + {7 \over x} = 1\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} + {1 \over y} = {1 \over {12}}} \cr 
\displaystyle{{2 \over 3} + {7 \over x} = 1} \cr} } \right.\)

Đặt \(\displaystyle{1 \over x} = a;{1 \over y} = b(a>0;b>0)\) ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{1 \over {12}}} \cr 
{\displaystyle{2 \over 3} + 7a = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a + b = \displaystyle{1 \over {12}}} \cr 
{a =\displaystyle {1 \over {21}}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\displaystyle{1 \over {21}} + b = {1 \over {12}}} \cr 
{a = \displaystyle{1 \over {21}}} \cr
} } \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = \displaystyle{1 \over {28}}} \cr 
{a = \displaystyle{1 \over {21}}} \cr} } \right. \text{(thỏa mãn)} \cr} \)

Suy ra: 

\(\left\{ {\matrix{\displaystyle
{{1 \over x} = {1 \over {21}}} \cr 
\displaystyle{{1 \over y} = {1 \over {28}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 21} \cr 
{y = 28} \cr} } \right.\)

Giá trị \(x = 21; y = 28\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy đội thứ nhất làm một mình trong \(21\) ngày thì xong công việc, đội thứ hai làm một mình  trong \(28\) ngày thì xong công việc.