Bài 5.3 trang 198 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho \(\varphi \left( x \right) = {8 \over x}.\) Chứng minh rằng \(\varphi '\left( { - 2} \right) = \varphi '\left( 2 \right).\)

Lời giải chi tiết

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{8}{{x + \Delta x}} - \dfrac{8}{x}\\ = \dfrac{{8\left[ {x - \left( {x + \Delta x} \right)} \right]}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 8\Delta x}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 8}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{ - 8}}{{x.\left( {x + \Delta x} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 8}}{{x\left( {x + 0} \right)}} = \dfrac{{ - 8}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( x \right) =  - \dfrac{8}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \varphi '\left( 2 \right) =  - \dfrac{8}{{{2^2}}} =  - 2\\\varphi '\left( { - 2} \right) =  - \dfrac{8}{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}} =  - 2\\ \Rightarrow \varphi '\left( 2 \right) = \varphi '\left( { - 2} \right)\end{array}\)