Bài 5.1 trang 198 SBT đại số và giải tích 11

Sử dụng định nghĩa, hãy tìm đạo hàm của các hàm số sau: 

LG a

\(y = 3x - 5;\)

Phương pháp giải:

Xem lại định nghĩa đạo hàm tại đây.

Lời giải chi tiết:

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = 3\left( {x + \Delta x} \right) - 5 - \left( {3x - 5} \right)\\ = 3x + 3\Delta x - 5 - 3x + 5\\ = 3\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3\end{array}\)

LG b

\(y = 4{x^2} - 0,6x + 7;\)

Lời giải chi tiết:

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \left[ {4{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - 0,6\left( {x + \Delta x} \right) + 7} \right]\\ - \left( {4{x^2} - 0,6x + 7} \right)\\ = 8x\Delta x + 4{\left( {\Delta x} \right)^2} - 0,6\Delta x\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 8x + 4\Delta x - 0,6\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 8x - 0,6\end{array}\)

LG c

\(y = 4x - {x^2};\)

Lời giải chi tiết:

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \left[ {4\left( {x + \Delta x} \right) - {{\left( {x + \Delta x} \right)}^2}} \right] - \left( {4x - {x^2}} \right)\\ = 4\Delta x - 2x\Delta x - {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 4 - 2x - \Delta x\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 4 - 2x\end{array}\)

LG d

\(y = \sqrt {3x + 1} ;\)

Lời giải chi tiết:

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  - \sqrt {3x + 1} \\ = \dfrac{{3\left( {x + \Delta x} \right) + 1 - \left( {3x + 1} \right)}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{{3\Delta x}}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + \Delta x} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{\sqrt {3\left( {x + 0} \right) + 1}  + \sqrt {3x + 1} }}\\ = \dfrac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}\end{array}\)

LG e

\(y = {1 \over {x - 2}};\)

Lời giải chi tiết:

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{1}{{x + \Delta x - 2}} - \dfrac{1}{{x - 2}}\\ = \dfrac{{x - 2 - x - \Delta x + 2}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - \Delta x}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + \Delta x - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x + 0 - 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

LG f

\(y = {{1 + \sqrt x } \over {1 - \sqrt x }}.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = \dfrac{{1 + \sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{2 - \left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{1 - \sqrt x }}\) \( = \dfrac{2}{{1 - \sqrt x }} - 1\)

Với \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)\\ = \dfrac{2}{{1 - \sqrt {x + \Delta x} }} - 1 - \left( {\dfrac{2}{{1 - \sqrt x }} - 1} \right)\\ = \dfrac{2}{{1 - \sqrt {x + \Delta x} }} - \dfrac{2}{{1 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{2\left( {1 - \sqrt x } \right) - 2\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {\sqrt {x + \Delta x}  - \sqrt x } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\left( {x + \Delta x - x} \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x}  + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{{2\Delta x}}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x}  + \sqrt x } \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x}  + \sqrt x } \right)}}\\ \Rightarrow y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt {x + \Delta x} } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {x + \Delta x}  + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{2}{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt x } \right)}}\\ = \dfrac{1}{{\sqrt x {{\left( {1 - \sqrt x } \right)}^2}}}\end{array}\)