Bài 53 trang 13 SBT toán 9 tập 1

Chứng minh: 

LG câu a

Số \(\sqrt 3 \) là số vô tỉ;

Phương pháp giải:

Áp dụng cách chứng minh bài 52 trang 13 sách bài tập toán 9 tập 1. 

Lời giải chi tiết:

Giả sử \( \displaystyle\sqrt 3 \) không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên \(a\) và \( b\) sao cho \( \displaystyle \displaystyle\sqrt 3  = {a \over b}\) với \(b > 0\). Hai số \(a\) và \( b\) không có ước chung nào khác \(1\) và \(-1\).  

Ta có: \( \displaystyle{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {{a \over b}} \right)^2}\) hay \( \displaystyle{a^2} = 3{b^2}\) (1)

Kết quả trên chứng tỏ \(a\) chia hết cho \(3\), nghĩa là ta có \(a = 3c\) với \(c\) là số nguyên. 

Thay \(a = 3c\) vào (1) ta được: \( \displaystyle{\left( {3c} \right)^2} = 3{b^2}\) hay \( \displaystyle{b^2} = 3{c^2}\)

Kết quả trên chứng tỏ \(b\) chia hết cho \(3\), trái với giả thiết \(a\) và \(b\) không có ước chung nào khác \(1\) và \(-1\).

Vậy \( \displaystyle\sqrt 3 \) là số vô tỉ.

LG câu b

Các số \(5\sqrt 2 \); \(5\sqrt 2 \) đều là số vô tỉ. 

Phương pháp giải:

Áp dụng cách chứng minh bài 52 trang 13 sách bài tập toán 9 tập 1. 

Lời giải chi tiết:

Giả sử \( \displaystyle5\sqrt 2 \) là số hữu tỉ \(a\), nghĩa là tồn tại số số hữu tỉ \(a\) sao cho  \( \displaystyle5\sqrt 2  = a.\)

Suy ra: \( \displaystyle\sqrt 2  = {a \over 5}\) hay \( \displaystyle\sqrt 2 \) là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì \( \displaystyle\sqrt 2 \) là số vô tỉ (theo bài 52 trang 13 SBT toán 9 tập 1)

Vậy \( \displaystyle5\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

*Giả sử \( \displaystyle3 + \sqrt 2 \) là số hữu tỉ \(b\), nghĩa là tồn tại một số hữu tỉ \(b\) mà:

\( \displaystyle3 + \sqrt 2  = b\)

Suy ra: \( \displaystyle\sqrt 2  = b - 3\) hay \( \displaystyle\sqrt 2 \) là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì \( \displaystyle\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

Vậy \( \displaystyle3 + \sqrt 2 \) là số vô tỉ.