Bài 50 trang 96 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác vuông \(ABC\) (\(\widehat A = 90^\circ \)) có đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM\) (h.36). Tính diện tích tam giác \(AMH\), biết rằng \(BH = 4cm, CH = 9cm.\)

Lời giải chi tiết

Xét hai tam giác vuông \(HBA\) và \(HAC\) có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

\(\widehat {HBA} = \widehat {HAC}\) (vì hai góc cùng phụ với \(\widehat C\))

\( \Rightarrow  ∆ HBA \backsim ∆ HAC\) (g.g)

\( \Rightarrow \displaystyle {{HA} \over {HB}} = {{HC} \over {HA}}\)

\( \Rightarrow H{A^2} = HB.HC = 4.9 = 36\)

\( \Rightarrow AH = 6\;(cm)\).

Vì \(AM\) là trung tuyến nên \(M\) là trung điểm của \(BC\) do đó \(\displaystyle BM = {1 \over 2}BC = {1 \over 2}.\left( {9 + 4} \right) \)\(\,=6,5\;  (cm)\)

Mà \(HM = BM - BH = 6,5 - 4 \)\(\,= 2,5\;  (cm)\).

Vậy \(\displaystyle {S_{AHM}} = {1 \over 2}AH.HM = {1 \over 2}.6.2,5 \)\(\,= 7,5\,(c{m^2})\).