Bài 45 trang 95 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình thang vuông \(ABCD\) (\(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \)) \(AB = 6cm, CD = 12cm,\) \(AD = 17cm.\) Trên cạnh \(AD,\) đặt đoạn thẳng \(AE = 8cm\) (h.31). Chứng minh \(\widehat {BEC}= 90^o\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(AD = AE + DE\)

Suy ra: \(DE = AD - AE=17 - 8 = 9 (cm)\)

\(\displaystyle {{AB} \over {DE}} = {6 \over 9} = {2 \over 3}\)

\(\displaystyle {{AE} \over {DC}} = {8 \over {12}} = {2 \over 3}\)

\(\Rightarrow \displaystyle {{AB} \over {DE}} ={{AE} \over {DC}} = {2 \over 3}\)

Xét \(∆ ABE\) và \(∆ DEC\) có:

\(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \) 

\(\displaystyle {{AB} \over {DE}} = {{AE} \over {DC}}= {2 \over 3}\)

\(\Rightarrow ∆ ABE \backsim ∆ DEC \) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {DEC}\)   (1)

Xét \(∆ ABE\) có \(\widehat A = 90^\circ\)

\(  \Rightarrow \widehat {ABE} + \widehat {AEB} = 90^\circ \)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(   \widehat {DEC} + \widehat {AEB} = 90^\circ \)

Lại có: \(\widehat {AEB} + \widehat {BEC} + \widehat {DEC} = \widehat {AED} \)\(\,= 180^\circ \)  (góc bẹt)

\(\Rightarrow  \widehat {BEC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {AEB} + \widehat {DEC}} \right) \)\(\,= 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \).