Giải bài 5 trang 26 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Giải các bất phương trình sau:


Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) \({32^{2x}} \ge {64^{x - 2}}\);

b) \(25.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} + 2x + 2}} > 4\);

c) \(\log \left( {11x + 1} \right) < 2\);

d) \({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {3x - 1} \right) \ge {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 1} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a, b) Sử dụng kiến thức về giải bất phương trình chứa mũ để giải bất phương trình:

Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình:

Bất phương trình

\(b \le 0\)

\(b > 0\)

\(a > 1\)

\(0 < a < 1\)

\({a^x} > b\)

\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\(x > {\log _a}b\)

\(x < {\log _a}b\)

\({a^x} \ge b\)

\(x \ge {\log _a}b\)

\(x \le {\log _a}b\)

\({a^x} < b\)

Vô nghiệm

\(x < {\log _a}b\)

\(x > {\log _a}b\)

\({a^x} \le b\)

\(x \le {\log _a}b\)

\(x \ge {\log _a}b\)

Chú ý:

+ Nếu \(a > 1\) thì \({a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) > v\left( x \right)\)

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) < v\left( x \right)\)

c, d) Sử dụng kiến thức về giải bất phương trình lôgarit để giải bất phương trình:

Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình:

Bất phương trình

\(a > 1\)

\(0 < a < 1\)

\({\log _a}x > b\)

\(x > {a^b}\)

\(0 < x < {a^b}\)

\({\log _a}x \ge b\)

\(x \ge {a^b}\)

\(0 < x \le {a^b}\)

\({\log _a}x < b\)

\(0 < x < {a^b}\)

\(x > {a^b}\)

\({\log _a}x \le b\)

\(0 < x \le {a^b}\)

\(x \ge {a^b}\)

Chú ý:

+ Nếu \(a > 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) > {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) > v\left( x \right)\end{array} \right.\)

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) > {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) < v\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) \({32^{2x}} \ge {64^{x - 2}} \) \( \Leftrightarrow {2^{5.2x}} \ge {2^{6\left( {x - 2} \right)}} \) \( \Leftrightarrow 10x \ge 6x - 12 \) \( \Leftrightarrow 4x \ge  - 12 \) \( \Leftrightarrow x \ge  - 3\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: \(x \ge  - 3\)

b) \(25.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} + 2x + 2}} > 4 \) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} + 2x + 2}} > {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} \) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 < 2 \) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x < 0\)

\( \) \( \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) < 0 \) \( \Leftrightarrow  - 2 < x < 0\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: \( - 2 < x < 0\).

c) Điều kiện: \(x > \frac{{ - 1}}{{11}}\)

\(\log \left( {11x + 1} \right) < 2 \) \( \Leftrightarrow \log \left( {11x + 1} \right) < \log 100 \) \( \Leftrightarrow 11x + 1 < 100 \) \( \Leftrightarrow 11x < 99 \) \( \Leftrightarrow x < 9\)

Kết hợp với điều kiện ta có: \(\frac{{ - 1}}{{11}} < x < 9\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: \(\frac{{ - 1}}{{11}} < x < 9\).

d) Điều kiện: \(x > \frac{1}{3}\)

\({\log _{\frac{1}{3}}}\left( {3x - 1} \right) \ge {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 1} \right) \) \( \Leftrightarrow 3x - 1 \le 2x + 1 \) \( \Leftrightarrow x \le 2\)

Kết hợp với điều kiện ta có: \(\frac{1}{3} < x \le 2\).

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là: \(\frac{1}{3} < x \le 2\).



Từ khóa phổ biến