Bài 4.1, 4.2, 4.3 phần bài tập bổ sung trang 43, 44 SBT toán 7 tập 2

Bài 4.1

Cho tam giác \(ABC.\) Trên đường trung tuyến \(AM\) của tam giác đó, lấy hai điểm \(D, E\) sao cho \(AD = DE = EM.\) Gọi \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DE.\) Khi đó trọng tâm của tam giác \(ABC\) là:

(A) Điểm \(D\)               (B) Điểm \(E\)

(C) Điểm \(O\)               (D) Cả (A), (B), (C) đều sai

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Lời giải chi tiết:

Do khoảng cách từ trọng tâm tới một đỉnh của tam giác bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó mà \(AD=DE=EM\) nên \(AE=\dfrac{2}{3}AM\), do đó \(E\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Chọn (B).

Bài 4.2

Cho tam giác \(\displaystyle ABC,\) trên đường trung tuyến \(\displaystyle AD.\) Gọi \(\displaystyle G\) là điểm nằm giữa \(\displaystyle A \) và \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle {{AG} \over {A{\rm{D}}}} = {2 \over 3}\). Tia \(\displaystyle BG\) cắt \(\displaystyle AC\) tại \(\displaystyle E,\) tia \(\displaystyle CG\) cắt \(\displaystyle AB\) tại \(\displaystyle F.\) Khẳng định nào sau đây sai?

\(\displaystyle \left( A \right){{BG} \over {EG}} = 2\) 

\(\displaystyle \left( B \right){{FG} \over {CG}} = {2 \over 3}\)

(C) \(\displaystyle E\) là trung điểm của cạnh \(\displaystyle AC\)

(D) \(\displaystyle F\) là trung điểm của cạnh \(\displaystyle AB\)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\displaystyle \dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. 

Lời giải chi tiết:

Do ba đường trung tuyến của một tam giác quy đồng tại trọng tâm của tam giác và trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\displaystyle {2 \over 3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó nên từ giả thiết suy ra \(\displaystyle G\) là trọng tâm tam giác \(\displaystyle ABC\)

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(\displaystyle ABC\) nên \(BE\) là đường trung tuyến, suy ra E là trung điểm cạnh AC và \(\displaystyle BG=\dfrac{2}{3} BE \Rightarrow \dfrac{BG}{EG} =2\)

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(\displaystyle ABC\) nên \(\displaystyle CF\) là đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle ABC\), suy ra \(\displaystyle CG=\dfrac{2}{3} CF\) và \(F\) là trung điểm của cạnh AB.

Từ đó: \(\displaystyle FG=\dfrac{1}{3} CF\), suy ra \(\displaystyle FG=\dfrac{1}{2} CG\) hay \(\displaystyle \dfrac{FG}{CG}=\dfrac{1}{2} \)

Hay (B) sai. 

Chọn \(\displaystyle \left( B \right){{FG} \over {CG}} = {2 \over 3}\)

Bài 4.3

Hai đoạn thẳng \(\displaystyle AB\) và \(\displaystyle CD \) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Gọi \(\displaystyle E\) và \(\displaystyle F\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(\displaystyle AD\) và \(\displaystyle BD.\) Các đoạn thẳng \(\displaystyle CE\) và \(\displaystyle CF\) lần lượt cắt đoạn thẳng \(\displaystyle AB\) tại \(\displaystyle I, J.\) Chứng minh rằng: \(\displaystyle AI = IJ = JB.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \(\displaystyle \dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. 

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\displaystyle O\) là giao điểm của hai đoạn thẳng \(\displaystyle AB\) và \(\displaystyle CD.\)

\(⇒ AO = OB\) và \(CO = OD.\)

+) \(ΔACD\) có hai đường trung tuyến \(AO, CE\) cắt nhau tại I

\(⇒ I\) là trọng tâm \(ΔACD\)

Do đó: \(\displaystyle OI = {1 \over 3}AO,AI = {2 \over 3}AO\) (1) (tính chất trọng tâm)

+) \(ΔBCD\) có hai đường trung tuyến \(BO, CF\) cắt nhau tại J

\(⇒ J\) là trọng tâm \(ΔBCD\)

Do đó: \(\displaystyle {\rm{OJ}} = {1 \over 3}BO,BJ = {2 \over 3}BO\) (2) (tính chất trọng tâm)

Từ (1), (2) và theo giả thiết \(\displaystyle AO = BO\), ta có:

\(\displaystyle {\rm{IJ}} = OI + {\rm{OJ}}= {1 \over 3}AO+{1 \over 3}BO\)\(\displaystyle = {1 \over 3}AO+{1 \over 3}AO\)\(=\displaystyle {2 \over 3}{\rm{AO = AI = BJ}}\)

Vậy \(\displaystyle AI = IJ = JB.\)