Bài 38 trang 43 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường trung tuyến \(AM.\) Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(M\) sao cho \(MD = MA.\)

a) Tính số đo góc \(ABD.\)

b) Chứng minh: \(∆ABC = ∆BAD.\)

c) So sánh độ dài \(AM\) và \(BC.\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(M\) là trung điểm của \(BC\)

Do đó: \(BM=MC\)

Xét \(\displaystyle ∆AMC\) và \(\displaystyle ∆DMB\) có: 

+) \(\displaystyle BM = MC\) (chứng minh trên )         

+) \(\displaystyle \widehat {AMC} = \widehat {BMD}\) (đối đỉnh)

+) \(\displaystyle AM = MD\) (gt)

Do đó: \(\displaystyle ∆AMC = ∆DMB\) (c.g.c)

\(\displaystyle \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat D\) (2 góc tương ứng)

Suy ra: \(\displaystyle AC // BD\) (vì có hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Mà \(\displaystyle AB \bot AC\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(\displaystyle AB \bot B{\rm{D}}\). Vậy \(\displaystyle \widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \)

b) Xét \(\displaystyle ∆ABC\) và \(\displaystyle ∆BAD:\)

+) \(\displaystyle AB\) cạnh chung

+) \(\displaystyle \widehat {BAC} = \widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \)

+) \(\displaystyle AC = BD\) (vì \(\displaystyle ∆AMC = ∆DMB)\)

Do đó: \(\displaystyle ∆ABC = ∆BAD\) (c.g.c) 

c)  Vì \(\displaystyle ∆ABC = ∆BAD\) (chứng minh trên) nên \(\displaystyle BC = AD\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(\displaystyle AM = {1 \over 2}A{\rm{D}}\).

Suy ra: \(\displaystyle {\rm{A}}M = {1 \over 2}BC\)