Bài 32 trang 42 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(∆ABC\) có hai đường trung tuyến \(BD, CE \) và \(BD = CE.\) Gọi \(G\) là giao điểm \(BD\) và \(CE.\)

Khi đó, G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra: 

\(\displaystyle BG = {2 \over 3}B{\rm{D}}\) (tính chất đường trung tuyến)

\(\displaystyle CG = {2 \over 3}CE\) (tính chất đường trung tuyến)

Mà \(BD = CE\) 

Suy ra: \(BG = CG\)

\( \Rightarrow  BG + GD = CG + GE\)

\( \Rightarrow GD = GE\) 

Xét \(∆BGE\) và \(∆CGD:\)

+) \(BG = CG\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat {BGE} = \widehat {CG{\rm{D}}}\) (đối đỉnh)

+) \(GE = GD\) (chứng minh trên)

Do đó: \(∆BGE = ∆CGD\) (c.g.c)

\( \Rightarrow  BE = CD\)    (1)

\(\displaystyle BE = {1 \over 2}AB\) (vì \(E\) là trung điểm \(AB)\)  (2)

\(\displaystyle C{\rm{D = }}{1 \over 2}AC\) (vì \(D\) là trung điểm \(AC) \)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AB = AC.\)

Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A.\)