Bài 3.6 trang 107 SBT đại số và giải tích 11

Cho tổng \({S_n} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}.\)

LG a

Tính \({S_1},S{_2},{S_3},{S_4}\)

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_1} = \dfrac{1}{{1.5}} = \dfrac{1}{5}\)

\({S_2} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} = \dfrac{2}{9}\)

\({S_3} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} = \dfrac{3}{{13}}\)

\({S_4} = \dfrac{1}{{1.5}} + \dfrac{1}{{5.9}} + \dfrac{1}{{9.13}} + \dfrac{1}{{13.17}} = \dfrac{4}{{17}}\)

Vậy \({S_1} = \dfrac{1}{5},{S_2} = \dfrac{2}{9},{S_3} = \dfrac{3}{{13}},{S_4} = \dfrac{4}{{17}}.\)

LG b

Dự đoán công thức tính \({S_n}\) và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải:

- Thay các giá trị \(n=1,2,3,4\) tính các số hạng.

Lời giải chi tiết:

Viết lại \(S = \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{{4.1 + 1}},\) \({S_2} = \dfrac{2}{9} = \dfrac{2}{{4.2 + 1}},\) \({S_3} = \dfrac{3}{{4.3 + 1}},{S_4} = \dfrac{4}{{4.4 + 1}}.\)

Ta có thể dự đoán \({S_n} = \dfrac{n}{{4n + 1}}.\)

Chứng minh :

Với \(n = 1\) thì \({S_1} = \dfrac{1}{5}\) đúng.

Giả sử \({S_n}\) đúng với \(n = k\), nghĩa là \({S_k} = \dfrac{k}{{4k + 1}}\).

Ta cần chứng minh \({S_{k + 1}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Thật vậy, \({S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.5}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {4k - 3} \right)\left( {4k + 1} \right)}}\) \( + \dfrac{1}{{\left[ {4\left( {k + 1} \right) - 3} \right].\left[ {4\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}\)

\( = \dfrac{k}{{4k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{k\left( {4k + 5} \right) + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\)

\( = \dfrac{{\left( {4k + 5} \right)\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {4k + 1} \right)\left( {4k + 5} \right)}}\) \( = \dfrac{{k + 1}}{{4k + 5}} = \dfrac{{k + 1}}{{4\left( {k + 1} \right) + 1}}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.