Bài 3.4 trang 107 SBT đại số và giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau (\(n \in N*\))

LG a

\({2^{n + 2}} > 2n + 5{\rm{ }};\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\) thì \({2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5.\)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1,\) tức là \({2^{k + 2}} > 2k + 5{\rm{     }}\left( 1 \right)\)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n = k + 1,\) tức là \({2^{k + 3}} > 2\left( {k + 1} \right) + 5\) hay

\({2^{k + 3}} > 2k + 7{\rm{        }}\left( 2 \right)\)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

\({2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3.\)

Vì \(2k + 3 > 0\) nên\({2^{k + 3}} > 2k + 7\left( {dpcm} \right).\)

LG b

\({\sin ^{2n}}\alpha  + {\cos ^{2n}}\alpha  \le 1.\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\) thì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1,\) bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có \({\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha  \le 1\) với \(k \ge 1,\) ta phải chứng minh \({\sin ^{2k + 2}}\alpha  + {\cos ^{2k + 2}}\alpha  \le 1.\)

Thật vậy, ta có

\({\sin ^{2k + 2}}\alpha  + {\cos ^{2k + 2}}\alpha \) \( = {\sin ^{2k}}\alpha .{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha .{\cos ^2}\alpha \) \( \le {\sin ^{2k}}\alpha  + {\cos ^{2k}}\alpha  \le 1.\)