Bài 3.56 trang 183 SBT giải tích 12

Đề bài

\(\displaystyle  \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} \) bằng

A. \(\displaystyle  0\)                   B. \(\displaystyle  1\)

C. \(\displaystyle   - 1\)                D. \(\displaystyle  2\)

Lời giải chi tiết

\(\displaystyle  \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\left( {{x^3} + \frac{x}{{{x^2} + 1}}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {{x^3}dx}  + \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}dx} \) \(\displaystyle   = I + J\)

Ta có: \(\displaystyle  I = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {{x^3}dx} \)\(\displaystyle   = \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{16}} - \frac{1}{{16}}} \right) = 0\)

Tính \(\displaystyle  J = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}dx} \)\(\displaystyle   = \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}}  = \left. {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} = 0\)

Vậy \(\displaystyle  \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx}  = I + J = 0\).

Chọn A.

Chú ý:

Có thể chứng minh hàm số \(\displaystyle  f\left( x \right) = \frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}\) là hàm số lẻ trên \(\displaystyle  \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\) và sử dụng lý thuyết \(\displaystyle  \int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx}  = 0\) nếu hàm số \(\displaystyle  f\left( x \right)\) lẻ trên \(\displaystyle  \left[ { - a;a} \right]\).