Bài 3.44 trang 180 SBT giải tích 12

Tính các tích phân sau:

LG a

\(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\), đặt \(\displaystyle  t = \sqrt y \)

Phương pháp giải:

Đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\)

Đặt \(\displaystyle  t = \sqrt y  \Rightarrow {t^2} = y \Rightarrow 2tdt = dy\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}.t.2tdt} \) \(\displaystyle   = 2\int\limits_0^1 {{t^2}\left( {{t^4} - 2{t^2} + 1} \right)dt} \) \(\displaystyle   = 2\int\limits_0^1 {\left( {{t^6} - 2{t^4} + {t^2}} \right)dt} \) \(\displaystyle   = 2\left. {\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - 2.\frac{{{t^5}}}{5} + \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1\) \(\displaystyle   = 2\left( {\frac{1}{7} - \frac{2}{5} + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{16}}{{105}}\)

LG b

\(\displaystyle  \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz\), đặt \(\displaystyle  u = \sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}\)

Phương pháp giải:

Đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz\)

Đặt \(\displaystyle  u = \sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}\) \(\displaystyle   \Rightarrow {u^3} = {\left( {z - 1} \right)^2}\) \(\displaystyle   \Rightarrow z = 1 + {u^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow dz = \frac{3}{2}{u^{\frac{1}{2}}}du\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz\) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\left[ {{{\left( {1 + {u^{\frac{3}{2}}}} \right)}^2} + 1} \right].u.\frac{3}{2}{u^{\frac{1}{2}}}du} \) \(\displaystyle   = \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {{u^{\frac{3}{2}}}\left( {2 + 2{u^{\frac{3}{2}}} + {u^3}} \right)du} \)

\(\displaystyle   = \frac{3}{2}\int\limits_0^1 {\left( {2{u^{\frac{3}{2}}} + 2{u^3} + {u^{\frac{9}{2}}}} \right)du} \) \(\displaystyle   = \frac{3}{2}\left. {\left( {2.\frac{2}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + 2.\frac{{{u^4}}}{4} + \frac{2}{{11}}{u^{\frac{{11}}{2}}}} \right)} \right|_0^1\) \(\displaystyle   = \frac{3}{2}\left( {\frac{4}{5} + \frac{1}{2} + \frac{2}{{11}}} \right) = \frac{{489}}{{220}}\)

LG c

\(\displaystyle  \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\)

Phương pháp giải:

Đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

\(\displaystyle  \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\)

Đặt \(\displaystyle  t = \sqrt {4 + 5\ln x}  \Rightarrow {t^2} = 4 + 5\ln x\) \(\displaystyle   \Rightarrow 2tdt = \frac{5}{x}dx \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = \frac{2}{5}tdt\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx\) \(\displaystyle   = \int\limits_2^3 {t.\frac{2}{5}tdt}  = \frac{2}{5}\int\limits_2^3 {{t^2}dt} \) \(\displaystyle   = \frac{2}{5}.\left. {\frac{{{t^3}}}{3}} \right|_2^3 = \frac{2}{5}\left( {\frac{{27}}{3} - \frac{8}{3}} \right) = \frac{{38}}{{15}}\).

LG d

\(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\cos }^5}\varphi }  - {\sin ^5}\varphi )d\varphi \)

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết: Nếu \(\displaystyle  f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\displaystyle  \left[ {a;b} \right]\) thì \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\cos x} \right)dx} \)

(bài 3.22 trang 172 SBT Giải tích 12 cơ bản).

Giải chi tiết:

Xét hàm số \(\displaystyle  f\left( t \right) = {t^5}\) xác định và liên tục trên \(\displaystyle  \mathbb{R}\).

Khi đó \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin \varphi } \right)d\varphi }  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\cos \varphi } \right)d\varphi } \) hay \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^5}\varphi d\varphi }  = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^5}\varphi d\varphi } \)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^5}\varphi d\varphi }  - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^5}\varphi d\varphi }  = 0\) \(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {{{\cos }^5}\varphi  - {{\sin }^5}\varphi } \right)d\varphi }  = 0\)