Bài 35 trang 10 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Với \(n\) là số tự nhiên, chứng minh: 

\({(\sqrt {n + 1}  - \sqrt n )^2} \)\(= \sqrt {{{(2n + 1)}^2}}  - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \)

Viết đẳng thức trên khi \(n\) bằng \(1, 2, 3, 4.\) 

Lời giải chi tiết

Ta có vế phải 

\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)^2} \cr 
& = n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} + n \cr 
& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \) 

Ta có vế trái:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{(2n + 1)}^2}} - \sqrt {{{(2n + 1)}^2} - 1} \cr  
& = \left| {2n + 1} \right| - \sqrt {(2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1)} \cr} \)

\(\eqalign{
& = 2n + 1 - \sqrt {2(n + 1)2n} \cr 
& = 2n + 1 - \sqrt {4(n + 1)n} \cr} \)

\(\eqalign{
& = 2n + 1 - \sqrt 4 .\sqrt {n(n + 1)} \cr 
& = 2n + 1 - 2\sqrt {n(n + 1)} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

- Với \(n = 1\), ta có:  \({\left( {\sqrt 2  - \sqrt 1 } \right)^2} = \sqrt 9  - \sqrt 8 \)

- Với \(n = 2\), ta có: \({\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)^2} = \sqrt {25}  - \sqrt {24} \)

- Với \(n = 3\), ta có: \({\left( {\sqrt 4  - \sqrt 3 } \right)^2} = \sqrt {49}  - \sqrt {48} \)

- Với \(n = 4\), ta có: \({\left( {\sqrt 5  - \sqrt 4 } \right)^2} = \sqrt {81}  - \sqrt {80} \)