Bài 33 trang 10 SBT toán 9 tập 1

Tìm điều kiện của \(x\) để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích:

LG câu a

\(\sqrt {{x^2} - 4}  + 2\sqrt {x - 2} \);

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

- Để \(\sqrt A \) có nghĩa thì \(A \ge 0\)

- Để \(\sqrt {A.B} \) có nghĩa ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
A \ge 0\\
B \ge 0
\end{array} \right.\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \begin{array}{l}
A \le 0\\
B \le 0
\end{array} \right.\)

Biến đổi về dạng tích:

Nếu \(A \ge 0,B \ge 0\) thì \(\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B \)

Với \(A \ge 0,B \ge 0, C \ge 0 \) 

Ta có :

\(\begin{array}{l}
\sqrt {A.B} + \sqrt {A.C} = \sqrt A .\sqrt B + \sqrt A .\sqrt C \\
= \sqrt A .(\sqrt B + \sqrt C )
\end{array}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4}  + 2\sqrt {x - 2} \) có nghĩa khi và chỉ khi:

\({x^2} - 4 \ge 0\) và \(x - 2 \ge 0\) 

Ta có: \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 2) \ge 0\)

Trường hợp 1: 

\(\left\{ \matrix{
x + 2 \ge 0 \hfill \cr 
x - 2 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 2 \hfill \cr 
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2(1)\)

Trường hợp 2: 

\(\left\{ \matrix{
x + 2 \le 0 \hfill \cr 
x - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr 
x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2(2)\)

Mà \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2(3)\)

Vậy từ (1), (2), (3) thì  \(x ≥ 2\) thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \cr 
& = \sqrt {(x + 2)(x - 2)} + 2\sqrt {x - 2} \cr}\)

\(= \sqrt {x - 2} .\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)\)

LG câu b

\(3\sqrt {x + 3}  + \sqrt {{x^2} - 9} \).

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

- Để \(\sqrt A \) có nghĩa thì \(A \ge 0\)

- Để \(\sqrt {A.B} \) có nghĩa ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
A \ge 0\\
B \ge 0
\end{array} \right.\)

Trường hợp 2:

\(\left\{ \begin{array}{l}
A \le 0\\
B \le 0
\end{array} \right.\)

Biến đổi về dạng tích:

Nếu \(A \ge 0,B \ge 0\) thì \(\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B \)

Với \(A \ge 0,B \ge 0, C \ge 0 \) 

Ta có :

\(\begin{array}{l}
\sqrt {A.B} + \sqrt {A.C} = \sqrt A .\sqrt B + \sqrt A .\sqrt C \\
= \sqrt A .(\sqrt B + \sqrt C )
\end{array}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3\sqrt {x + 3}  + \sqrt {{x^2} - 9} \) có nghĩa khi và chỉ khi:

\(x + 3 \ge 0\) và \({x^2} - 9 \ge 0\)

Ta có: \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -3\)

\({x^2} - 9 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 3) \ge 0\)

Trường hợp 1: 

\(\left\{ \matrix{
x + 3 \ge 0 \hfill \cr 
x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 3 \hfill \cr 
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)

Trường hợp 2: 

\(\left\{ \matrix{
x + 3 \le 0 \hfill \cr 
x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le - 3 \hfill \cr 
x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 3\)

Vậy với \(x ≥ 3\) thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích: 

\(\eqalign{
& 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \cr 
& = 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {(x + 3)(x - 3)} \cr} \)

\(= \sqrt {x + 3} \left( {3 + \sqrt {x - 3} } \right)\)