Bài 3.49 trang 182 SBT giải tích 12

Giải bài 3.49 trang 182 sách bài tập giải tích 12. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số...


Đề bài

Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số \(\displaystyle  f\left( x \right) = \frac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)?

A. \(\displaystyle  \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}}\)       B. \(\displaystyle  \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\)

C. \(\displaystyle  \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\)       D. \(\displaystyle  \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính nguyên hàm của hàm số đã cho bằng cách biến đổi về các hàm số cơ bản có công thức tính nguyên hàm.

Chú ý: Nếu \(\displaystyle  F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(\displaystyle  f\left( x \right)\) thì \(\displaystyle  F\left( x \right) + C\) với \(\displaystyle  C\) là một hẳng số cũng là một nguyên hàm của \(\displaystyle  f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\displaystyle  f\left( x \right) = \frac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)\(\displaystyle   = \frac{{{x^2} + 2x + 1 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle   = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx} \) \(\displaystyle   = x + \frac{1}{{x + 1}} + C\)

Đáp án A: \(\displaystyle  \frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 1}} = x - \frac{1}{{x + 1}}\) nên không là nguyên hàm của \(\displaystyle  f\left( x \right)\).

Đáp án B: \(\displaystyle  \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} - 2\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle  f\left( x \right)\).

Đáp án C: \(\displaystyle  \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}}\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle  f\left( x \right)\).

Đáp án D: \(\displaystyle  \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{{x + 1}} - 1\) nên là một nguyên hàm của \(\displaystyle  f\left( x \right)\).

Chọn A.



Từ khóa phổ biến