Bài 3.46 trang 181 SBT giải tích 12
Giải bài 3.46 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:...
Đề bài
Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) \(\displaystyle y = x - 1 + \frac{{\ln x}}{x},y = x - 1\) và \(\displaystyle x = e\);
b) \(\displaystyle y = {x^3} - {x^2}\) và \(\displaystyle y = \frac{1}{9}(x - 1)\);
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm nghiệm \(\displaystyle a \le {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \le b\)
- Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng:
\(\displaystyle S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_a^{{x_1}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle + \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle + ... + \int\limits_{{x_n}}^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
\(\displaystyle = \left| {\int\limits_a^{{x_1}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle + \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\) \(\displaystyle + ... + \left| {\int\limits_{{x_n}}^b {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)dx} } \right|\)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\displaystyle x - 1 + \frac{{\ln x}}{x} = x - 1\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\ln x}}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Khi đó \(\displaystyle S = \int\limits_1^e {\left| {x - 1 + \frac{{\ln x}}{x} - x + 1} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_1^e {\left| {\frac{{\ln x}}{x}} \right|dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{x}dx} \) \(\displaystyle = \int\limits_1^e {\ln xd\left( {\ln x} \right)} \) \(\displaystyle = \left. {\frac{{{{\ln }^2}x}}{2}} \right|_1^e = \frac{1}{2}\)
b) Ta có: \(\displaystyle {x^3} - {x^2} = \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - \frac{1}{9}} \right) = 0\) \(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\\x = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Khi đó:
\(\displaystyle S = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^1 {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \)\(\displaystyle = \int\limits_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \) \(\displaystyle + \int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left| {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right|dx} \)
\(\displaystyle = \left| {\int\limits_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} {\left[ {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \right|\) \(\displaystyle + \left| {\int\limits_{\frac{1}{3}}^1 {\left[ {{x^3} - {x^2} - \frac{1}{9}\left( {x - 1} \right)} \right]dx} } \right|\)
\(\displaystyle = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{9}.\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{9}x} \right)} \right|_{ - \frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}}} \right|\) \(\displaystyle + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{9}.\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{9}x} \right)} \right|_{\frac{1}{3}}^1} \right|\)
\(\displaystyle = \left| {\frac{7}{{324}} + \frac{1}{{36}}} \right| + \left| { - \frac{1}{{36}} - \frac{7}{{324}}} \right| = \frac{8}{{81}}\)
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 3.46 trang 181 SBT giải tích 12 timdapan.com"
