Bài 3.48 trang 181 SBT giải tích 12

Giải bài 3.48 trang 181 sách bài tập giải tích 12. Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:...


Hãy chỉ ra các kết quả đúng trong các kết quả sau:

LG a

\(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx} \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}dx} ;m,n \in {N^*}\)

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Đúng vì trong tích phân  \(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx} \), nếu đặt \(\displaystyle  t = 1 - x\) thì \(\displaystyle  dx =  - dt\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^n}{{(1 - x)}^m}dx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_1^0 {{{\left( {1 - t} \right)}^n}.{t^m}.\left( { - dt} \right)} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {{t^m}.{{\left( {1 - t} \right)}^n}dt} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {{x^m}.{{\left( {1 - x} \right)}^n}dt} \)


LG b

\(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}}}{{{e^t} + 1}}} dt = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \)

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}}  + \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \)  (*)

Dùng phương pháp đổi biến \(\displaystyle  t =  - x\) đối với tích phân \(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \), ta được:

\(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}}  = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}dx}}{{{e^{ - x}} + 1}} = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^{ - t}} + 1}}} } \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t}}}{{1 + {e^t}}}dt} \)

Thay vào (*) ta có: \(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \)\(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t}}}{{1 + {e^t}}}dt}  + \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}{e^t} + {t^2}}}{{{e^t} + 1}}dt} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^1 {\frac{{{t^2}\left( {{e^t} + 1} \right)}}{{{e^t} + 1}}dt}  = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \)

Vậy \(\displaystyle  \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{{t^2}dt}}{{{e^t} + 1}}}  = \int\limits_0^1 {{t^2}dt} \).


LG c

\(\displaystyle  \int\limits_0^1 {{{\sin }^3}x\cos xdx = } \int\limits_0^1 {{t^3}} dt\)

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Sai.

Đặt \(\displaystyle  \sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dt\)

\(\displaystyle   \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\sin }^3}s\cos xdx} \) \(\displaystyle   = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{t^3}dt}  \ne \int\limits_0^1 {{t^3}dt} \)

Vậy c sai.



Từ khóa phổ biến