Bài 3.40 trang 160 SBT hình học 11

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 60° và hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’.

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ

b) Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ là một hình vuông.

Lời giải chi tiết

a) Gọi I là trung điểm của cạnh B’C’. Theo giả thiết ta có AI ⊥ (A’B’C’) và \(\widehat {AA'I} = {60^0}\). Ta biết rằng hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng chính là khoảng cách AI.

Do đó \(AI = AA'.\sin {60^0} = a.{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

b)

\(\left. \matrix{
B'C' \bot A'I \hfill \cr 
B'C' \bot AI \hfill \cr} \right\} \Rightarrow B'C' \bot \left( {AIA'} \right)\)

\( \Rightarrow B'C' \bot AA'\)

Mà \(AA'\parallel BB'\parallel CC'\) nên B’C’ ⊥ BB’

Vậy mặt bên BCC’B’ là một hình vuông vì nó là hình thoi có một góc vuông.