Bài 3.35 trang 160 SBT hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh đường thẳng BC’ vuông góc với mặt phẳng (A’B’CD)

b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’

Lời giải chi tiết

a) Ta có B’C ⊥ BC’ vì đây là hai đường chéo của hình vuông BB’C’C

Ngoài ra ta còn có: \(A'B' \bot \left( {BB'C'C} \right) \Rightarrow A'B' \bot BC'\)

Từ đó ta suy ra \(BC' \bot \left( {A'B'C{\rm{D}}} \right)\) vì mặt phẳng (A’B’CD) chứa đường thẳng A’B’ và B’C cùng vuông góc với BC’.

b) Mặt phẳng (AB’D’) chứa đường thẳng AB’ và song song với BC’, ta tìm hình chiếu của BC’ trên mặt phẳng (AB’D’).

Gọi E, F lần lượt là tâm các hình vuông ADD’A’, BCC’B’.

Kẻ FH ⊥ EB’với H ∈ EB’, khi đó FH nằm trên mặt phẳng (A’B’CD) nên theo câu a) thì \(FH \bot \left( {AB'{\rm{D'}}} \right)\).

Do đó hình chiếu BC’ trên mặt phẳng (AB’D) là đường thẳng đi qua H và song song với BC’.

Giả sử đường thẳng đó cắt AB’ tại K thì từ K vẽ đường thẳng song song với FH cắt BC’ tại L.

Khi đó KL là đoạn vuông góc chung cần dựng.

Tam giác B’EF vuông tại F nên từ công thức \({1 \over {F{H^2}}} = {1 \over {F{{\rm{E}}^2}}} + {1 \over {FB{'^2}}}\) ta tính được \(KL = FH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

Nhận xét . Độ dài đoạn vuông góc chung của AB’ và BC’ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB’D’) và (BC’D) lần lượt chứa hai đường thẳng đó. Khoảng cách này bằng \({1 \over 3}A'C = {{a\sqrt 3 } \over 3}\).