Bài 3.22 trang 124 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Tìm cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = a\\u_1^2 + u_2^2 + ... + u_n^2 = {b^2}\end{array} \right.\) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27{\rm{      }}\left( 1 \right)\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275{\rm{   }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Áp dụng công thức \({u_1} + {u_3} = 2{u_2}\) suy ra \({u_2} = 9{\rm{                     }}\left( 3 \right)\)

Thay \({u_2} = 9\) vào (1) và (2) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 18\\u_1^2 + u_3^2 = 194\end{array} \right.\)

Từ đây tìm được \({u_1} = 5,{u_3} = 13\) hoặc \({u_1} = 13,{u_3} = 5.\)

Vậy ta có hai cấp số cộng \(5,9,13\) và \(13,9,5.\)

b) Ta có:

Mặt khác, \(a = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\) \( \Rightarrow 2a = 2n{u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) \( \Leftrightarrow {u_1} = \dfrac{{2a - \left( {n - 1} \right)d}}{{2n}}\).

Thay \({u_1}\) vào (1) ta được:

Kết quả \(d =  \pm \sqrt {\dfrac{{12\left( {n{b^2} - {a^2}} \right)}}{{{n^2}\left( {{n^2} - 1} \right)}}} \);\({u_1} = \dfrac{1}{n}\left[ {a - \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d} \right]\)