Bài 3.2 phần bài tập bổ sung trang 84 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Hình thang cân \(ABCD\) \((AB// CD)\) có hai đường chéo cắt nhau tại \(I,\) hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở \(K.\) Chứng minh rằng \(KI\) là đường trung trực của hai đáy.

Lời giải chi tiết

\(\eqalign{
& \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\,\,\,\,(gt) \cr 
& \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {KCD} \cr} \) 

\(⇒ ∆ KCD\) cân tại \(K\)

\(⇒ KD = KC\)

\(⇒ KA + AD = KB + BC\)

Mà \(AD = BC\) (tính chất hình thang cân)

\(⇒ KA = KB\)

Xét \(∆ ADC\) và \(∆ BCD :\)

\(AD = BC\) (chứng minh trên)

\(AC = BD\) (tính chất hình thang cân)

\(CD\) cạnh chung

Do đó: \(∆ ADC = ∆ BCD\;\;\; (c.c.c)\)

\( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)

\(⇒ ∆ IDC\) cân tại \(I\)

\(⇒ IC = ID\) nên \(I\) thuộc đường trung trực của \(CD\)

\(KC = KD\) nên \(K\) thuộc đường trung trực của \(CD\)

\(K≢ I.\) Vậy \(KI\) là đường trung trực của \(CD.\)

\(BD = AC\) (tính chất hình thang cân)

\(⇒ IB + ID = IA + IC\) mà \(ID = IC\)  (chứng minh trên)

\(⇒ IB = IA\) \(\Rightarrow \Delta IAB\) cân tại \(I\)

nên \(I\) thuộc đường trung trực \(AB\)

\( KA = KB\) ( chứng minh trên) \(\Rightarrow \Delta KAB\) cân tại \(K\)

nên \(K\) thuộc đường trung trực \(AB\)

\(K≢ I.\) Vậy \(KI\) là đường trung trực của \(AB.\)