Giải bài 3 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của B’D’ và A’C’. Gọi P là trung điểm của OC’.

Vẽ \(OH \bot MP,HE//NP,EF//OH\) (H thuộc MP, E thuộc MN, F thuộc B’D’)

Chứng minh được \(B'D' \bot \left( {A'C'CA} \right)\) nên \(B'D' \bot OH\), mà \(EF//OH\) nên \(EF \bot B'D'\left( 1 \right)\)

Vì NP//B’D’ nên \(NP \bot \left( {A'C'CA} \right) \Rightarrow NP \bot OH\), mà \(OH \bot MP\) nên \(OH \bot \left( {MNP} \right)\) hay \(OH \bot MN\), mà \(EF//OH\)\( \Rightarrow EF \bot MN\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(d\left( {MN,B'D'} \right) = EF = OH\)

Tam giác MOP vuông tại O, ta có: \(OM = a,OP = \frac{1}{2}OC' = \frac{1}{4}A'C' = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\) nên

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{P^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = {\left( {\frac{4}{{a\sqrt 2 }}} \right)^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{9}{{{a^2}}}\)\( \Rightarrow OH = \frac{a}{3}\)