Bài 2.8 trang 64 SBT hình học 11

Đề bài

Cho hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((\beta)\) cắt nhau theo giao tuyến \(d\). Trong \((\alpha)\) lấy hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho \(AB\) cắt \(d\) tại \(I\). \(O\) là một điểm nằm ngoài \((\alpha)\) và \((\beta)\) sao cho \(OA\) và \(OB\) lần lượt cắt \((\beta)\) tại \(A’\) và \(B’\).

a) Chứng minh ba điểm \(I\), \(A’\), \(B’\) thẳng hàng.

b) Trong \((\alpha)\) lấy điểm \(C\) sao cho \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng. Giả sử \(OC\) cắt \((\beta)\) tại \(C’\), \(BC\) cắt \(B’C’\) tại \(J\), \(CA\) cắt \(C’A’\) tại \(K\). Chứng minh \(I\), \(J\), \(K\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(AB\cap d=I\)

Khi đó \(I\in AB, AB\subset (OAB)\Rightarrow I\in (OAB)\) và \(I\in d, d\subset (\beta)\Rightarrow I\in (\beta)\)

Suy ra \(I=(OAB)\cap (\beta)\)

Ta có \(A’=OA\cap (\beta)\)

Khi đó \(A’\in OA, OA\subset (OAB)\)

\(\Rightarrow A’\in (OAB)\) và \(A’\in (\beta)\)

Suy ra \(A’=(OAB)\cap (\beta)\)

Chứng minh tương tự \(B’=(OAB)\cap (\beta)\)

Vậy \(I\), \(A’\), \(B’\) là ba điểm chung của hai mặt phẳng \((OAB)\) và \((\beta)\) nên chúng thẳng hàng.

b) Ta có \(I=AB\cap d\) khi đó \(I\in AB, AB\subset (ABC)\Rightarrow I\in (ABC)\)

Và \(I\in d, d\subset (\beta)\Rightarrow I\in (\beta)\) mà \(A’, B’, C’\in (\beta)\) \(\Rightarrow(A’B’C’)\) là \((\beta)\) nên \(I\in (A’B’C’)\)

Suy ra \(I\in (ABC)\cap (A’B’C’)\)

Ta có \(BC\cap B’C’=J\)

Khi đó \(J\in BC, BC\subset (ABC)\Rightarrow J\in (ABC)\) và \(J\in B’C’, B’C’\subset (A’B’C’)\)

\(\Rightarrow J\in (A’B’C’)\)

Suy ra \(J\in (ABC)\cap (A’B’C’)\)

Tương tự ta có \(K\in (ABC)\cap (A’B’C’)\)

Vậy \(I\), \(J\), \(K\) là ba điểm chung của hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((A’B’C’)\) nên chúng thẳng hàng.