Bài 2.1 trang 63 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) và điểm \(M\) thuộc miền trong của tam giác \(ACD\). Gọi \(I\) và \(J\) tương ứng là hai điểm trên cạnh \(BC\) và \(BD\) sao cho \(IJ\) không song song với \(CD\).

a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((IJM)\) và \((ACD)\).

b) Lấy \(N\) là điểm thuộc miền trong của tam giác \(ABD\) sao cho \(JN\) cắt đoạn \(AB\) tại \(L\). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNJ)\) và \((ABC)\).

Lời giải chi tiết

a) Nhận xét:

Trong \((BCD)\), gọi \(K = IJ \cap CD\).

Ta có : \(M\) là điểm chung thứ nhất của \((ACD)\) và \((IJM)\);

\(\left\{ \matrix{
K \in IJ \hfill \cr 
IJ \subset \left( {MIJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {MIJ} \right)\) và  \(\left\{ \matrix{K \in CD \hfill \cr C{\rm{D}} \subset \left( {AC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)

Vậy \(\left( {MIJ} \right) \cap \left( {ACD} \right) = MK\)

b) Với \(L = JN \cap AB\) ta có:

\(\left\{ \matrix{
L \in JN \hfill \cr 
JN \subset \left( {MNJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left( {MNJ} \right)\)

\(\left\{ \matrix{
L \in AB \hfill \cr 
AB \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left( {ABC} \right)\)

Như vậy \(L \) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \((MNJ) \) và \((ABC)\)

Gọi \(P = JL \cap A{\rm{D}},Q = PM \cap AC\)

Ta có: 

\(\left\{ \matrix{
Q \in PM \hfill \cr 
PM \subset \left( {MNP} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left( {MNJ} \right)\)

Và \(\left\{ \matrix{Q \in AC \hfill \cr AC \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left( {ABC} \right)\)

Nên \(Q\) là điểm chung thứ hai của \((MNJ)\) và \((ABC)\)

Vậy \(LQ = \left( {ABC} \right) \cap \left( {MNJ} \right)\).