Bài 2.46 trang 66 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là \(S\), \(O\) là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng \(a\sqrt 2 \) và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng \({60^0}\). Diện tích xung quanh \({S_{xq}}\) của hình nón và thể tích \(V\) của khối nón tương ứng là:

A. \({S_{xq}} = \pi {a^2},V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}\)

B. \({S_{xq}} = \dfrac{{\pi {a^2}}}{2},V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

C. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\sqrt 2 ,V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}\)

D. \({S_{xq}} = \pi {a^2},V = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(A\) là một điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón.

Đường sinh \(SA = a\sqrt 2 \), góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy \(\widehat {SAO} = {60^0}\).

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) có:

\(OA = SA\cos {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\); \(SO = SA\sin {60^0}\) \( = a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Diện tích xung quanh hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2  = \pi {a^2}\).

Thể tích \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\) \( = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Chọn D.