Bài 2.34 trang 102 SBT hình học 10

Tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng:

LG a

 \(2\sin A = \sin B + \sin C\);

Phương pháp giải:

 Sử dụng công thức \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\).

Giải chi tiết:

Theo định lý sin ta có: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\)

Ta suy ra: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{{b + c}}{{\sin B + \sin C}} = \dfrac{{2a}}{{\sin B + \sin C}}\)

\( \Rightarrow 2\sin A = \sin B + \sin C\)

LG b

 \(\dfrac{2}{{{h_a}}} = \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}\)

Phương pháp giải:

Tìm mối quan hệ giữa \({h_a},{h_b},{h_c}\) với \(a,b,c,R\) và suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Các công thức xem chi tiết tại đây.

Giải chi tiết:

Đối với tam giác ABC ta có: \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}{h_c}.c = \dfrac{{abc}}{{4R}}\).

Ta suy ra \({h_c} = \dfrac{{ab}}{{2R}}\). Tương tự ta có \({h_b} = \dfrac{{ac}}{{2R}},{h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\). Do đó:

\(\dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = 2R\left( {\dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{ab}}} \right) = 2R\dfrac{{b + c}}{{abc}}\)mà b + c = 2a

Nên \(\dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = \dfrac{{2R.2a}}{{abc}} = \dfrac{{2R.2}}{{bc}} = \dfrac{2}{{{h_a}}}\)

Vậy \(\dfrac{2}{{{h_a}}} = \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}\).