Bài 2.23 trang 61 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho \(AH = {{4r} \over 3}\). Mặt phẳng \((\alpha )\) qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).

a) Tính diện tích của hình tròn (C).

b) Gọi BCD là tam giác đều nội tiếp trong (C), hãy tính thể tích hình chóp A.BCD và hình chóp A’.BCD.

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết ta có \(\displaystyle AH = {{4r} \over 3}\)

Ta suy ra \(\displaystyle OH = {r \over 3}\). Gọi \(\displaystyle r’ \) là bán kính của đường tròn (C).

Ta có: \(\displaystyle r{'^2} = {r^2} - O{H^2} \) \(\displaystyle = {r^2} - {{{r^2}} \over 9} = {{8{r^2}} \over 9}\)

Vậy diện tích của hình tròn (C) là: \(\displaystyle S = \pi r{'^2} = {{8\pi {r^2}} \over 9}\)

b) Vì BCD là tam giác đều nên ta có: \(\displaystyle BC = r'.\sqrt 3  = {{2\sqrt 6 } \over 3}r\)

Diện tích của tam giác đều BCD là \(\displaystyle S = {{B{C^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{24{r^2}} \over 9}.{{\sqrt 3 } \over 4} = {{2{r^2}\sqrt 3 } \over 3}\)

Thể tích hình chóp A.BCD là: \(\displaystyle V = {1 \over 3}{{2{r^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{4r} \over 3}\) \(\displaystyle = {{8\sqrt 3 {r^3}} \over {27}}\)

Hai hình chóp A.BCD và A’.BCD có chung mặt đáy BCD nên:

\(\displaystyle {{{V_{A'.BCD}}} \over {{V_{A.BCD}}}} = {{HA'} \over {HA}} = {1 \over 2}\).

Do đó \(\displaystyle {V_{A'.BCD}} = {{4\sqrt 3 {r^3}} \over {27}}\).