Bài 2.18 trang 61 SBT hình học 12

Đề bài

Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \) . Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.

a) Chứng minh rằng mặt cầu đó đi qua trung điểm của AB và AC.

b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D. Tính độ dài của AD và SD.

Lời giải chi tiết

a) Giả sử mặt cầu đi qua đỉnh A của hình chóp và tiếp xúc với cạnh SB tại B₁, tiếp xúc với cạnh SC tại C₁. Khi đó mặt cầu cắt cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm C₂, B₂.

Mặt phẳng (SAB) cắt mặt cầu đó theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn này tiếp xúc với SB tại B₁ và đi qua A và C₂.

Do đó, ta có: BB₁² = BA. BC₂  trong đó \(B{B_1} = {{SB} \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\). Do đó, \(B{B_1}^2 = {{{a^2}} \over 2}\)

Vậy \({{{a^2}} \over 2} = a.B{C_2} \Rightarrow B{C_2} = {{{a^2}} \over 2}:a = {a \over 2}\)

Điều đó chứng tỏ mặt cầu nói trên đi qua trung điểm C₂ của đoạn AB.

Lí luận tương tự ta chứng minh được mặt cầu đó đi qua trung điểm B₂ của AC.

b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D, ta có:

\(S{\rm{D}}{\rm{.SA = SB}}_1^2\)   hay  \(SD.a\sqrt 2  = {({{a\sqrt 2 } \over 2})^2} = {{{a^2}} \over 2}\)

Do đó, \(SD = {{{a^2}} \over 2}:a\sqrt 2  = {{a\sqrt 2 } \over 4}\) và \(AD = SA - SD = {{3a\sqrt 2 } \over 4}\)