Bài 2.14 trang 60 SBT hình học 12

Đề bài

Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.

Lời giải chi tiết

Giả sử ta có mặt cầu tâm I đi qua các đỉnh S, A, B, C của hình chóp. Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo giao tuyến là đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì SA = SB = SC nên ta có \(\displaystyle SO \bot (ABC)\) và OS là trục của đường tròn tâm O.

Do đó \(\displaystyle SO \bot AO\). Trong tam giác SAO, đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I và ta được hai tam giác vuông đồng dạng là SIM và SAO, với M là trung điểm của cạnh SA.

Ta có \(\displaystyle {{SI} \over {SA}} = {{SM} \over {SO}} = {{SA} \over {2SO}}\) với \(SI = IA = IB = IC = r\)

Vậy \(\displaystyle r = SI = {{S{A^2}} \over {2SO}} = {{{a^2}} \over {2h}}\)

Do đó diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC đã cho là :

\(\displaystyle S = 4\pi {r^2} = 4\pi {({{{a^2}} \over {2h}})^2}\) \(\displaystyle = \pi {{{a^4}} \over {{h^2}}}\)