Bài 2.15 trang 60 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(\Delta \) và \(\Delta '\) có AA’ là đoạn vuông góc chung, trong đó \(A \in \Delta \) và \(A' \in \Delta '\). Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với  \(\Delta '\) và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng \((\alpha )\)  lần lượt cắt \(\Delta \) và \(\Delta '\)  tại M và M’. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng \((\alpha )\)  là M₁.

a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M₁. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc \(\varphi  = (\Delta ,\Delta ')\)

b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết ta có: \(\displaystyle \widehat {A'M'M} = \widehat {A'AM} = \widehat {A'{M_1}M} = {90^0}\)

Do đó 5 điểm A, A’, M, M’ ,M₁ cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính \(\displaystyle r = {{A'M} \over 2}\)

Mặt khác ta có A’M² = A’A² + AM², trong đó  \(\displaystyle \cos \varphi  = {{M{M_1}} \over {AM}}\)  nên \(\displaystyle AM = {{M{M_1}} \over {\cos \varphi }} = {x \over {\cos \varphi }}\)

Do đó \(\displaystyle A'{M^2} = {a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}\)

\(\displaystyle \Rightarrow A'M = \sqrt {{{{a^2}{{\cos }^2}\varphi  + {x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}}  = {1 \over {\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi  + {x^2}} \)

Mặt cầu tâm O có bán kính \(\displaystyle r = {{A'M} \over 2} = {1 \over {2\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi  + {x^2}} \)

Diện tích của mặt cầu tâm O là: \(\displaystyle S = 4\pi {r^2} = \pi {(2r)^2} = \pi {(A'M)^2} = \pi ({a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }})\)

b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // \(\displaystyle \Delta \) nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với \(\displaystyle \Delta \).

Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’, có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’.

Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.