Bài 2.22 trang 61 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và \((\alpha )\) bằng 30⁰.

a) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi \((\alpha )\) và hình cầu.

b) Đường thẳng  đi qua A vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB.

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mặt phẳng \(\displaystyle (\alpha )\).

Theo giả thiết ta có \(\displaystyle \widehat {OAH} = {30^0}\).

Do đó: \(\displaystyle HA = OA.\cos {30^0} = r{{\sqrt 3 } \over 2}\)

Vậy diện tích của thiết diện tạo bởi \(\displaystyle (\alpha )\) và hình cầu là: \(\displaystyle S = \pi .H{A^2} = {{3\pi {r^2}} \over 4}\).

b) Mặt phẳng (ABO) qua tâm O của hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường tròn lớn qua A và B. Gọi I là trung điểm của đoạn AB ta có \(\displaystyle OI \bot AB\) . Vì AB // OH nên AIOH là hình chữ nhật.

Do đó \(\displaystyle AI = OH = {{OA} \over 2} = {r \over 2}\).

Vậy \(AB = 2AI = r\).

Chú ý:  Có thể nhận xét rằng tam giác OAB cân tại O (OA = OB) và có góc \(\displaystyle \widehat {OAB} = {60^0}\)  nên OAB là tam giác đều và suy ra AB = OA = OB = r.