Bài 19 trang 7 SBT toán 8 tập 1

Tìm giá trị nhỏ nhất  của các đa thức:

LG a

\(\) \( P= {x^2} - 2x + 5\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

\(\) \( (A-B)^2+m \ge m\) với mọi \(A,\,B.\) Dấu \("="\) xảy ra khi \(A=B\).

Lời giải chi tiết:

\(\) \(P= {x^2} - 2x + 5\)\( = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\)

Ta có: 

\({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)

\( \Rightarrow P = {x^2} - 2x + 5 \)\(= {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)

\( \Rightarrow P = 4\)  là giá trị bé nhất khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)\( \Rightarrow x = 1\)

Vậy \(P=4\) là giá trị bé nhất của đa thức khi \(x=1\). 

LG b

\(\) \(Q = 2{x^2} - 6x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

\(\) \((A+B)^2+m \ge m\) với mọi \(A,\,B.\) Dấu \("="\) xảy ra khi \(A=-B\).

Lời giải chi tiết:

\(\) \( Q= 2{x^2} - 6x\)\( = 2\left( {{x^2} - 3x} \right) \)\(= 2\left( {{x^2} - 2.\displaystyle{3 \over 2}x + {9 \over 4} - {9 \over 4}} \right)\)

 \( \displaystyle= 2\left[ {{{\left( {x - {3 \over 2}} \right)}^2} - {9 \over 4}} \right]\)\(\displaystyle = 2{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2}\)

Ta có:

\(\displaystyle{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} \ge 0\)\(\displaystyle \Rightarrow 2{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2} \ge  - {9 \over 2}\)

Do đó: \( \displaystyle\Rightarrow Q =2{\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} - {9 \over 2} \ge  - {9 \over 2}\)

\( \displaystyle\Rightarrow Q =  - {9 \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất khi \(\displaystyle {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} = 0\)\(\displaystyle  \Rightarrow x = {3 \over 2}\)

Vậy \(\displaystyle Q =  - {9 \over 2}\)  là giá trị bé nhất của đa thức \( x = \displaystyle{3 \over 2}\)

LG c

\(\) \(M = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá các biểu thức đã cho.

\(\) \( A^2+B^2+m \ge m\) với mọi \(A,\,B.\) Dấu \("="\) xảy ra khi \(A=0\) và \(B=0\).

Lời giải chi tiết:

\(\) \(\displaystyle M = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10 \)\(\displaystyle= \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + \left( {{x^2} - x + 1} \right) \)\(\displaystyle = {\left( {y + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} - 2.\displaystyle{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right) \)\(\displaystyle= {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \)

Ta có:

\( {\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0;\)\(\displaystyle{\left( {x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\)\(  \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \)\(\Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} + \displaystyle{3 \over 4} \ge \displaystyle{3 \over 4}\)

\( \Rightarrow M = \displaystyle {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} + \displaystyle{3 \over 4} \ge \displaystyle{3 \over 4}\)

\( \Rightarrow M = \displaystyle{3 \over 4}\)  là giá trị nhỏ nhất khi \({\left( {y + 3} \right)^2} = 0\)\( \Rightarrow y =  - 3\)  và \({\left( {x - \displaystyle{1 \over 2}} \right)^2} = 0 \)\(\Rightarrow x = \displaystyle{1 \over 2}\)

Vậy \(M = \displaystyle{3 \over 4}\) là giá trị bé nhất tại \(y =  - 3\) và \(x =\displaystyle {1 \over 2}\)