Bài 1.61 trang 44 SBT hình học 10

Đề bài

Cho các điểm \({\rm{A'}}( - 4;1),B'(2;4)\) và \(C'(2; - 2)\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC, CA\) và \(AB\) của tam giác \(ABC\).

a) Tính tọa độ các đỉnh của tam giác \(ABC\);

b) Chứng minh rằng các trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) trùng nhau.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {C'A}  = \overrightarrow {A'B'} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 2 = 6\\{y_A} + 2 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8\\{y_A} = 1\end{array} \right.\) suy ra \(A\left( {8;1} \right)\).

\(\overrightarrow {BA'}  = \overrightarrow {C'B'} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 - {x_B} = 0\\1 - {y_B} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} =  - 4\\{y_B} =  - 5\end{array} \right.\) suy ra \(B\left( { - 4; - 5} \right)\).

\(\overrightarrow {A'C}  = \overrightarrow {C'B'} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} + 4 = 0\\{y_C} - 1 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 4\\{y_C} = 7\end{array} \right.\) suy ra \(C\left( { - 4;7} \right)\).

b) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{8 + \left( { - 4} \right) + \left( { - 4} \right)}}{3} = 0\\{y_G} = \dfrac{{1 + \left( { - 5} \right) + 7}}{3} = 1\end{array} \right.\) hay \(G\left( {0;1} \right)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{G'}} = \dfrac{{ - 4 + 2 + 2}}{3} = 0\\{y_{G'}} = \dfrac{{1 + 4 + \left( { - 2} \right)}}{3} = 1\end{array} \right.\) hay \(G'\left( {0;1} \right)\).

Vậy \(G \equiv G'\).