Bài 1.60 trang 44 SBT hình học 10

Đề bài

Cho hình thoi \(ABCD\) tâm \(O\) có \(AC = 8, BD = 6\). Chọn hệ tọa độ \((O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j )\) sao cho \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow {OC} \) cùng hướng, \(\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng.

a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi;

b) Tìm tọa độ trung điểm \(I\) của \(BC\) và trọng tâm của tam giác \(ABC\);

c) Tìm tọa độ điểm đối xứng \(I'\) của \(I\) qua tâm \(O\). Chứng minh \(A\), \(I'\), \(D\) thẳng hàng;

d) Tìm tọa độ của vec tơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {BC} \).

Lời giải chi tiết

a) Do \(AC = 8 \Rightarrow OA = OC = 4\) nên \(A( - 4;0),C(4;0)\)

Do \(DB = 6 \Rightarrow OB = OD = 3\) nên \(B(0;3),D(0; - 3)\)

b) Do \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{0 + 4}}{2} = 2\\{y_I} = \dfrac{{3 + 0}}{2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) hay \(I\left( {2;\dfrac{3}{2}} \right)\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{ - 4 + 0 + 4}}{3} = 0\\{y_G} = \dfrac{{0 + 3 + 0}}{3} = 1\end{array} \right.\) hay \(G(0;1)\).

c) Gọi \(I'\) là điểm đối xứng với \(I\) qua \(O\).

Khi đó \(O\) là trung điểm \(II'\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{2 + {x_{I'}}}}{2}\\0 = \dfrac{{\dfrac{3}{2} + {y_{I'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} =  - 2\\{y_{I'}} =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\) hay \(I'\left( { - 2; - \dfrac{3}{2}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AI'}  = \left( {2; - \dfrac{3}{2}} \right),\overrightarrow {AD}  = (4; - 3)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AI'} \) nên ba điểm \(A,I',D\) thẳng hàng.

d) Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( {4 - \left( { - 4} \right);0 - 0} \right) = \left( {8;0} \right)\)

\(\overrightarrow {BD}  = \left( {0 - 0; - 3 - 3} \right) = \left( {0; - 6} \right)\)

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {4 - 0;0 - 3} \right) = \left( {4; - 3} \right)\)