Bài 1.59 trang 36 SBT giải tích 12

Đề bài

Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3\)  có đúng một cực trị.

Lời giải chi tiết

+) Với \(m = 1\) thì \(y =  - {x^2} + 3\) là hàm đa thức bậc hai luôn có một cực trị nên thỏa mãn.

+) Với \(m \ne 1\) thì hàm số đã cho là hàm bậc bốn trùng phương có:

\(y' = 4(m - 1){x^3} - 2mx\)\( = 2x\left[ {2(m - 1){x^2} - m} \right]\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2\left( {m - 1} \right){x^2} - m = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{m}{{2\left( {m - 1} \right)}}\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Hàm số có đúng một cực trị khi \(y' = 0\) có đúng một nghiệm, tức là:

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\) hoặc vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\\dfrac{m}{{2\left( {m - 1} \right)}} < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\0 < m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m < 1\).

Kết hợp với \(m = 1\) ở trên ta được \(0 \le m \le 1\).

Vậy với \(0 \le m \le 1\) hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.