Bài 1.57 trang 36 SBT giải tích 12

Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

LG a

a) \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\)

Phương pháp giải:

* Tìm TXĐ.

* Xét sự biến thiên:

+ Tính \(y'\).

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.

+ Tìm các đường tiệm cận.

+ Lập bảng biến thiên.

* Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

* TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

* Chiều biến thiên: \(y' = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - 1\)

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 1\) nên TCN \(y = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  + \infty \) nên TCĐ: \(x =  - 1\).

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

- Cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0; - 2} \right)\) và cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {2;0} \right)\).

- Nhận giao điểm hai đường tiệm cận \(I\left( { - 1;1} \right)\) làm tâm đối xứng.

LG b

\(y = \dfrac{{2 - x}}{{2x - 1}} = \dfrac{{ - x + 2}}{{2x - 1}}\)

Phương pháp giải:

* Tìm TXĐ.

* Xét sự biến thiên:

+ Tính \(y'\).

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.

+ Tìm các đường tiệm cận.

+ Lập bảng biến thiên.

* Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

* TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\).

* Chiều biến thiên: \(y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne \dfrac{1}{2}\)

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\dfrac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - \dfrac{1}{2}\) nên TCN \(y =  - \dfrac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên TCĐ: \(x = \dfrac{1}{2}\).

Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

- Cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {0; - 2} \right)\) và cắt trục \(Ox\) tại điểm \(\left( {2;0} \right)\).

- Nhận giao điểm hai đường tiệm cận \(I\left( {\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) làm tâm đối xứng.

- Vẽ đồ thị: