Bài 1.33 trang 17 SBT giải tích 12

Đề bài

Cho hàm số \(y = {x^3} + \dfrac{3}{2}{x^2}\). Khoảng cách \(d\) giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A. \(d = 2\sqrt 5 \)                B. \(d = \dfrac{{\sqrt 5 }}{4}\)

C. \(d = \sqrt 5 \)                  D. \(d = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\)

\(y'' = 6x + 3\);\(y''\left( 0 \right) = 3 > 0,y''\left( { - 1} \right) =  - 3 < 0\)

Do đó \(x = 0\) là điểm cực tiểu \( \Rightarrow {y_{CT}} = 0 \Rightarrow O\left( {0;0} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

\(x =  - 1\) là điểm cực đại của hàm số \( \Rightarrow {y_{CD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow A\left( { - 1;\dfrac{1}{2}} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Vậy khoảng cách \(d = OA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Chọn D.